Question

12．根据国家《环境空气质量标准》规定：居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如表：

组别	PM2.5（微克/立方米）	频数（天）	频率
第一组	（0，15]	4	0.1
第二组	（15，30]	12	0.3
第三组	（30，45]	8	0.2
第四组	（45，60]	8	0.2
第五组	（60，75]	4	0.1
第六组	（75，90 ）	4	0.1

（1）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；
（2）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；
（3）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列及数学期望E（X）和方差D（X）．

Answer 1

分析 （1）利用频率分配表，直接求解众数和中位数．
（2）利用中位数与频率求出该居民区PM2.5年平均浓度，判断即可．
（3）随机变量ξ的可能取值为0，1，2．求出概率，得到分布列，然后求解期望与方差即可．

解答 解：（1）众数为22.5微克/立方米，中位数为37.5微克/立方米． …（4分）
（2）去年该居民区PM2.5年平均浓度为7.5×0.1+22.5×0.3+37.5×0.2+52.5×0.2+67.5×0.1+82.5×0.1=40.5（微克/立方米）．因为40.5＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，
故该居民区的环境需要改进．       …（7分）
（3）记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，
则$P（A）=\frac{9}{10}$．随机变量ξ的可能取值为0，1，2．且ξ～B$（2，\frac{9}{10}）$
所以$P（ξ=k）=C_2^k{（\frac{9}{10}）^k}{（1-\frac{9}{10}）^{2-k}}（k=0，1，2）$，所以变量ξ的分布列为

ξ	0	1	2
p	$\frac{1}{100}$	$\frac{18}{100}$	$\frac{81}{100}$

（10分）
$Eξ=0×\frac{1}{100}+1×\frac{18}{100}+2×\frac{81}{100}=1.8$（天），或$Eξ=nP=2×\frac{9}{10}=1.8$（天）  …（11分）
Dξ=0.18（12分）

点评 本题考查频率分布表，独立重复试验的概率分布列以及期望与方差的求法，考查计算能力．