Question

20．已知函数f（x）=-x²+3x-$\frac{1}{4}$，g（x）=x-（m+1）lnx-$\frac{m}{x}$，m∈R．
（1）求函数g（x）的极值；
（2）若对任意x₁，x₂∈[1，e]，f（x₁）-g（x₂）≤1恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）求出f（x）的最大值，问题转化为g（x）_min≥1，根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：（1）$g'（x）=\frac{{（{x-m}）（{x-1}）}}{x^2}（{x＞0}）$-----------------（2分）
①当m≤0时，f（x）在区间（0，1）上是减函数，在区间（1，+∞）上是增函数，
∴f（x）_极小值=f（1）=1-m，无极大值．----------------------（3分）
②当0＜m＜1时，f（x）在区间（0，m）上是增函数，
在区间（m，1）上是减函数，在区间（1，+∞）上是增函数，
∴f（x）_极大值=f（m）=m-（m+1）lnm-1，f（x）_极小值=f（1）=1-m．--------（4分）
③当m=1时，f（x）在区间（0，+∞）是增函数，∴f（x）无极值．----------------（5分）
④当m＞1时，f（x）在区间（0，1）上是增函数，
在区间（1，m）上是减函数，在区间（m，+∞）上是增函数，
∴f（x）_极小值=f（m）=m-（m+1）lnm-1，f（x）_极大值=f（1）=1-m．---------（6分）
（2）∵$f（x）=-{（x-\frac{3}{2}）^2}+2$，∴$f{（x）_{max}}=f（\frac{3}{2}）=2$，
由题意，当x∈[1，e]时，f（x）_max-g（x）_min≤1即g（x）_min≥1．---------------（8分）
①当m≤1时，g（x）_min=g（1）=1-m，∵1-m≥1，∴m≤0．----------------（10分）
②当1＜m＜e时，g（x）_min=g（m）=m-（m+1）lnm-1，
令F（m）=m-（m+1）lnm-1（1＜m＜e），
则$F'（m）=-1-\frac{1}{m}＜0$，∴F（m）是减函数，
∴F（m）＜F（1）=0，∴g（m）＜0，不合题意．-----------------（13分）
③当m≥e时，$g{（x）_{min}}=g（e）=e-（m+1）-\frac{m}{e}$，
∵$e-（m+1）-\frac{m}{e}≥1$，∴$m≤\frac{{{e^2}-2e}}{e+1}$，这与m≥e矛盾，舍去．-----------------------------（15分）
综上，m的取值范围是（-∞，0]．--------------------------------（16分）

点评 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．