Question

17．设函数f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}$x²．
（1）当a=2时，求函数在x=1处的切线方程；
（2）函数f（x）在x∈（0，e）时有两个极值点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），代入切线方程即可；
（2）求出函数的导数，由题意知f′（x）=0在（0，e）内有两个根，令g（x）=lnx-ax+1，即函数g（x）在（0，e）内有两个零点，求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的零点问题，从而确定a的范围即可．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=xlnx-x²，所以f（1）=-1，
f′（x）=lnx-2x+1，则f′（1）=-1，
故切线方程为y=-x；
（2）由f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}$x²，则f′（x）=lnx-ax+1，
由题意知f′（x）=0在（0，e）内有两个根，
令g（x）=lnx-ax+1，即函数g（x）在（0，e）内有两个零点，
而g′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
当a≤0时，g′（x）＞0恒成立，
则g（x）在（0，e）内单调递增，不可能有两个零点；
当0＜a≤$\frac{1}{e}$时，$\frac{1}{a}$≥e，则g′（x）＞0在（0，e）内恒成立，
则g（x）在（0，e）内单调递增，不可能有两个零点；
当a＞$\frac{1}{e}$时，则令g′（x）=0，存在x₀=$\frac{1}{a}$（0，e）

x	（0，$\frac{1}{a}$）	$\frac{1}{a}$	（$\frac{1}{a}$，e）
g′（x）	+	0	-
g（x）	↗	极大值ln$\frac{1}{a}$	↘

因为g（x）当x→0时，g（x）→-∞，
故函数g（x）在（0，e）内有两个零点，
只需g（e）=2-ae＜0，$g（\frac{1}{a}）=ln\frac{1}{a}＞0$，
解得$\frac{2}{e}＜a＜1$，
综上所述，实数a的取值范围为$（\frac{2}{e}\;，\;1）$．

点评 本题考查函数的对数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值，构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力．