Question

从侧面都是正三角形的正四棱锥的8条棱中随机选两条，记ξ为这两条棱所成角的大小．
（1）求概率P（ξ=

π

2

）；
（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）从正四棱锥的8条棱中任选两条，共有

C

2 8

种不同方法，其中“ξ=

π

2

”包含了两类情形，利用古典概型的概率公式求出；
（2）求出ξ取0，

π

3

，

π

2

时的概率，列出分布列，利用期望公式求出数学期望E（ξ）．

解答： 解：（1）从正四棱锥的8条棱中任选两条，共有

C

2 8

种不同方法，
其中“ξ=

π

2

”包含了两类情形：
①从底面正方形的4条棱中任选两条相邻的棱，共有4种不同方法；
②从4条侧棱中选两条，共有2种不同方法，
所以P(ξ=

π

2

)=

4+2

C 2 8

=

3

14

；                                  …（4分）
（2）依题意，ξ的所有可能取值为0，

π

3

，

π

2

，
“ξ=0”包含了从底面正方形的4条棱中任选两条对棱，共2种不同方法；
所以P(ξ=0)=

2

C 2 8

=

1

14

；                                   …（6分）
从而P（ξ=

π

3

）=1-P(ξ=0)-P(ξ=

π

2

)=

5

7

，…（8分）
所以ξ的分布列为：

ξ	0	π 3	π 2
P	1 14	5 7	3 14

数学期望E（ξ）=0×

1

14

+

π

3

×

5

7

+

π

2

×

3

14

=

29

84

π．              …（10分）

点评：此题重点在于准确理解好题意，还考查了离散型随机变量的定义及其分布列，利用期望定义求出离散型随机变量的期望．