Question

已知△ABC与△DBC都是边长为2的等边三角形，且平面ABC⊥平面DBC，过点A作PA⊥平面ABC，且AP=2

3

．
（1）求证：PA∥平面DBC；
（2）求直线PD与平面DBC所成角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（1）取BC的中点O，连接DO，由已知条件推导出DO∥PA，由此能证明PA∥平面DBC．
（2）由已知条件推导出直线PD与平面ABC所成角就是直线PD与直线OA所成的角，过D作DM∥OA交PA于M，则∠PDM就是直线PD与平面DBC所成角，由此能求出结果．

解答： （1）证明：取BC的中点O，连接DO，
∵△ABC与△DBC都是边长为2的等边三角形，
∴DO⊥BC，
又∵平面DBC⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC．
∵AP⊥平面ABC，∴DO∥PA，
又∵DO在平面DBC内，PA不包含于平面DBC，
∴PA∥平面DBC．
（2）解：∵D在平面ABC的射影是O，P在平面ABC的射影是A，
∴DP在平面ABC的射影是OA，
即直线PD与平面ABC所成角就是直线PD与直线OA所成的角，
过D作DM∥OA交PA于M，由（1）可知DO∥PA，
∴DM=OA=1，DO=MA=1，∴PM=1，
∴cos∠PDM=

DM

PD

=

2

2

，∴∠PDM=45°．
∴直线PD与平面DBC所成角的大小为45°．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．