Question

19．已知圆C₁：（x+3）²+（y-1）²=4，直线l：14x+8y-31=0，求圆C₁关于直线l对称的C₂的方程．

Answer 1

分析 先根据圆C₁的方程求出圆心和半径，再根据垂直及中点在轴上这两个条件，求出圆心关于直线的对称点的坐标，即可求得关于直线对称的圆的方程．

解答 解：圆C₁：（x+3）²+（y-1）²=4的圆心为C₁（-3，1），半径为2，
设C₁（-3，1）关于直线l对称的点C₂的坐标为（m，n），则由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n-1}{m+3}•\frac{-14}{8}=-1}\\{14•\frac{m-3}{2}+8•\frac{n+1}{2}-31=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{7n-4m=19}\\{7m+4n=48}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=5}\end{array}\right.$，故要求的圆C₂的方程为：（x-4）²+（y-5）²=4．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，求一个圆关于直线的对称圆的方程的方法，关键是求出圆心关于直线的对称点的坐标，利用了属于基础题．