Question

16．在某校科普知识竞赛前的模拟测试中，得到甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩（百分制）的茎叶图；
（Ⅰ）若从甲、乙两名学生中选择1人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；
（Ⅱ）若从甲的6次模拟测试成绩中随机选择2个，求选出的成绩中至少有一个超过87分的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由茎叶图分别求出学生甲、乙的平均成绩和成绩的方差，由$\overline{{x}_{甲}}$=$\overline{{x}_{乙}}$，${{S}_{甲}}^{2}$＞${{S}_{乙}}^{2}$，得选择乙参加知识竞赛．
（Ⅱ）从甲的6次模拟成绩中随机抽取2个，利用列举法能求出选出的成绩中至少有一个超过87分的概率．

解答 解：（Ⅰ）由茎叶图，得：
学生甲的平均成绩：$\overline{{x}_{甲}}$=$\frac{68+76+79+86+88+95}{6}$=82，
学生乙的平均成绩：$\overline{{x}_{乙}}$=$\frac{71+75+82+84+86+94}{6}$=82，
学生甲的成绩的方差：${{S}_{甲}}^{2}$=$\frac{1}{6}$[（68-82）²+（76-82）²+（79-82）²+（86-82）²+（88-82）²+（95-82）²]=77，
学生乙的成绩的方差：${{S}_{乙}}^{2}$=$\frac{1}{6}$[（71-82）²+（75-82）²+（82-82）²+（84-82）²+（86-82）²+（94-82）²]=$\frac{167}{3}$，
∵$\overline{{x}_{甲}}$=$\overline{{x}_{乙}}$，${{S}_{甲}}^{2}$＞${{S}_{乙}}^{2}$，
∴甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，即乙发挥稳定，故可选择乙参加知识竞赛．
（Ⅱ）从甲的6次模拟成绩中随机抽取2个，有以下15种情况：
（68，76），（68，79），（68，86），（68，88），（68，95），（76，79），（76，86），（76，88），
（76，95），（79，86），（79，88），（79，95），（86，88），（86，95），（88，95），
其中选出的成绩中至少有一个超过87分的有9种情况，
故选出的成绩中至少有一个超过87分的概率p=$\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$．

点评 本题考查平均数、方差的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．