Question

11．在平面直角坐标系中，已知点P（3，0）在圆C：（x-m）²+（y-2）²=40内，动直线AB过点P且交圆C于A、B两点，若△ABC的面积的最大值为20，则实数m的取值范围是-3＜m≤-1或7≤m＜9．

Answer 1

分析 根据圆的标准方程得到圆心坐标和半径，利用三角形面积的最大值，确定直线的位置，利用直线和方程的位置关系即可得到结论．

解答 解：圆C：（x-m）²+（y-2）²=40，圆心C（m，2），半径r=2$\sqrt{10}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$r²sin∠ACB=20sin∠ACB，
∴当∠ACB=90时S取最大值20，
此时△ABC为等腰直角三角形，AB=$\sqrt{2}$r=4$\sqrt{5}$，
则C到AB距离=2$\sqrt{5}$，
∴2$\sqrt{5}$≤PC＜2$\sqrt{10}$，即2$\sqrt{5}$≤$\sqrt{（m-3）^{2}+{2}^{2}}$＜2$\sqrt{10}$，
∴20≤（m-3）²+4＜40，即16≤（m-3）²＜36，
∵圆C：（x-m）²+（y-2）²=40内，
∴|OP|=$\sqrt{（3-m）^{2}+{2}^{2}}$$＜2\sqrt{10}$，即（m-3）²＜36，
∴16≤（m-3）²＜36，
∴-3＜m≤-1或7≤m＜9，
故答案为：-3＜m≤-1或7≤m＜9．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用圆的标准方程求出圆心坐标和半径是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．