Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，AD=2

2

，CD=2，PA⊥平面ABCD，PA=4．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）点Q为线段PB的中点，求直线QC与平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离,空间角

分析：方法一、运用空间直角坐标系的坐标法解决．以A为原点，AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，得到向量BD，AC，AP的坐标，运用数量积为0，得到BD⊥AP，BD⊥AC，进而证得（Ⅰ）；
再由平面PAC的一个法向量为

BD

，运用向量的夹角公式，即可得到直线QC与平面PAC所成角的正弦值．
方法二、通过平面几何中勾股定理的逆定理，计算得到BD⊥AC，再由线面垂直的性质和判定定理，即可得证（Ⅰ）；连PO，取PO中点H，连QH，由QH⊥平面PAC，得到∠QCH是直线QC与平面PAC所成的角．再解三角形
QCH，即可得到所求值．

解答： （法一）（Ⅰ）证明：以A为原点，建立空间直角坐标系，如图，
B（4，0，0），D（0，2

2

，0），P（0，0，4），A（0，0，0），
C（2，2

2

，0），Q（2，0，2），
则

BD

=（-4，2

2

，0），

AP

=（0，0，4），

AC

=（2，2

2

，0），

QC

=（0，2

2

，-2），
∴

BD

•

AP

=0，

BD

•

AC

=-4×2+2

2

×2

2

+0=0，
∴BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC；      
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，平面PAC的一个法向量为

BD

=（-4，2

2

，0），
设直线QC与平面PAC所成的角为θ，
则sinθ=

| QC • BD |

| QC |•| BD |

=

8

12 • 24

=

2

3

，
所以直线QC与平面PAC所成的角的正弦值为

2

3

．                
（法二）（Ⅰ）证明：设AC∩BD=O，
∵CD∥AB，∴OB：OD=OA：OC=AB：CD=2，
Rt△DAB中，DA=2

2

，AB=4，∴DB=2

6

，∴DO=

1

3

DB=

2 6

3

，
同理，OA=

2

3

CA=

4 3

3

，∴DO²+OA²=AD²，即∠AOD=90°，∴BD⊥AC，
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，
由AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC；       
（Ⅱ）解：连PO，取PO中点H，连QH，则QH∥BO，
由（Ⅰ）知，QH⊥平面PAC
∴∠QCH是直线QC与平面PAC所成的角．   
由（Ⅰ）知，QH=

1

2

BO=

2 6

3

，
取OA中点E，则HE=

1

2

PA=2，又EC=

1

2

OA+OC=

4 3

3

Rt△HEC中，HC²=HE²+EC²=

28

3

∴Rt△QHC中，QC=2

3

，∴sin∠QCH=

QH

QC

=

2

3

，
∴直线QC与平面PAC所成的角的正弦值为

2

3

．

点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查线面垂直的判定和性质及运用，考查线面所成的角的求法，考查运算能力，属于中档题．