Question

如图，圆周上有n个固定点，分别为A₁，A₂，…，A_n（n∈N^*，n≥2），在每一个点上分别标上1，2，3中的某一个数字，但相邻的两个数字不相同，记所有的标法总数为a_n．
（1）写出a₂，a₃，a₄的值；
（2）写出a_n的表达式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由题意可得，又a₁=2，可求得a₂，再由a₂的值求 a₃，再由a₃ 的值求出a₄的值．
（2）猜想，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答： 解：（1）计算得：a₂=6，a₃=6，a₄=18．
（2）猜想a_n=2ⁿ+2（-1）ⁿ．             
证明：①当n=2时，a₂=6，猜想成立．
②假设当n=k时，猜想成立，即a_k=2^k+2（-1）^k．
则当n=k+1时，因为A₁有3种标法，A₂有2种标法，A₃有2种标法，…A_k有2种标法，若A_k+1仅与A_k不同则有2标法
一种与A₁数不相同，符合要求，有A_k+1种；
一种与A₁数相同，不符合要求，但是相当于k个点的标法总数，有A_k种，
则有：3×2^k=a_k+1+a_k．∴a_k+1=-a_k+3×2^k=-2^k-2（-1）^k+3×2^k=2^k+1+2（-1）^k．
即n=k+1时，猜想也成立．
由①②可知，猜想成立．

点评：本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．