Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C₁：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F₁(－1,0)，且点P(0,1)在C₁上．

(1)求椭圆C₁的方程；

(2)设直线l同时与椭圆C₁和抛物线C₂：y²＝4x相切，求直线l的方程．

Answer 1

 (1)因为椭圆C₁的左焦点为F₁(－1,0)，

所以c＝1，

将点P(0,1)代入椭圆方程＋＝1，得＝1，

即b²＝1，所以a²＝b²＋c²＝2，

所以椭圆C₁的方程为＋y²＝1.

(2)直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，

由消去y并整理得，(1＋2k²)x²＋4kmx＋2m²－2＝0，

因为直线l与椭圆C₁相切，

所以Δ₁＝16k²m²－4(1＋2k²)(2m²－2)＝0

整理得2k²－m²＋1＝0，①

由消去y并整理得，

k²x²＋(2km－4)x＋m²＝0，

因为直线l与抛物线C₂相切，

所以Δ₂＝(2km－4)²－4k²m²＝0，

整理得km＝1，②

综合①②，解得

所以直线l的方程为y＝x＋或y＝－x－.