Question

已知正三棱锥P-ABC，点P，A，B，C都在半径为4的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为

 

．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算．

解答： 解：∵正三棱锥P-ABC，PA，PB，PC两两垂直，
∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O，
∵球O的半径为4，
∴正方体的边长为

8

3

3

，即PA=PB=PC=

8

3

3

，
球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离，
设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P-ABC的体积V=

1

3

S_△ABC×h=

1

3

S_△PAB×PC=

1

3

×

1

2

×

8

3

3

×

8

3

3

×

8

3

3

，
△ABC为边长为

8

3

6

的正三角形，S_△ABC=

3

4

×（

8

3

6

）²=

32

3

3

，
∴h=

8

3

，
∴球心（即正方体中心）O到截面ABC的距离为

4

3

．
故答案为：

4

3

．

点评：本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，属中档题．