Question

设函数f（x），g（x）满足下列条件：（1）f（-1）=-1，f（0）=0，f（1）=1．（2）对任意实数x₁，x₂都有f（x₁）•f（x₂）+g（x₁）•g（x₂）=g（x₁-x₂），则当n＞2，n∈N^*时，[f（x）]ⁿ+[g（x）]ⁿ的最大值为

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意，令x₂=0得g（x₁）=0或g（0）=1，再令x₁=-x₂=1得g（0）=1；从而令x₁=x₂得f²（x₁）+g²（x₁）=1，从而求最大值．

解答： 解：由题意，令x₂=0得，
f（x₁）•f（0）+g（x₁）•g（0）=g（x₁），
即g（x₁）•g（0）=g（x₁），
故g（x₁）=0或g（0）=1；
令x₁=-x₂=1；
则f（1）•f（-1）+g（1）•g（-1）=g（2），
即-1+g（1）•g（-1）=g（2），
故g（x₁）=0不成立，
故g（0）=1；
令x₁=x₂得，
f²（x₁）+g²（x₁）=1，
故[f（x）]ⁿ+[g（x）]ⁿ的最大值为1；
故答案为：1．

点评：本题考查了抽象函数的应用，注意特殊值的应用，属于中档题．