Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

）的图象与x轴交点为（-

π

6

，0），相邻最高点坐标为（

π

12

，1）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求函数h（x）=log 

1

2

f（x）的单调增区间；
（3）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[0，

π

2

]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）先求A，ω，φ的值，即可求函数f（x）的表达式；
（2）由复合函数的单调性及定义域可求h（x）=log 

1

2

f（x）的单调增区间，即可求h（x）=log 

1

2

f（x）的单调增区间；
（3）由已知可得：a-2＜f（x）_min，a+2＞f（x）_max，而x∈[0，

π

2

]时-

3

2

≤f（x）≤1，可求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）函数的最大值为1，则A=1  
函数f（x）的周期为T=4×(

π

12

+

π

6

)=π，而T=

2π

ω

，则ω=2，
又x=

π

12

时，y=1，而-

π

2

＜φ＜

π

2

，则φ=

π

3

，
∴函数f（x）的表达式为f（x）=sin（2x+

π

3

）．
（2）由复合函数的单调性及定义域可求h（x）=log 

1

2

f（x）的单调增区间：由2kπ+

π

2

＜2x+

π

3

＜2kπ+π得kπ+

π

12

＜x＜kπ+

π

3

，k∈Z，
所以h（x）=log 

1

2

f（x）的单调增区间为（kπ+

π

12

，kπ+

π

3

），k∈Z．
（3）-2＜f（x）-a＜2在[0，

π

2

）上恒成立即a-2＜f（x），a+2＞f（x）恒成立，故a-2＜f（x）_min，a+2＞f（x）_max，而x∈[0，

π

2

]时-

3

2

≤f（x）≤1，可得-1＜a＜2-

3

2

．

点评：本题主要考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，函数值域的求法，属于基本知识的考察．