Question

设f（x）为二次函数，且f（1）=1，f（x+1）-f（x）=-4x+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=f（x）-x-a，若函数g（x）在实数R上没有零点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：（1）用待定系数法，设出f（x）的解析式，f（x+1）-f（x）=-4x+1中，求出系数即可．
（2）可求得g（x）=-2x²+2x-a，g（x）在实数R上没有零点，?△=4-8a＜0，从而可求得a的取值范围

解答： 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
则f（x+1）-f（x）=2ax+a+b
所以2ax+a+b=1-4x对一切x∈R成立．故

2a=-4 a+b=1

所以

a=-2 b=3

，
又因为f（1）=1，所以a+b+c=1，所以c=0．
故f（x）=-2x²+3x
（2）g（x）=f（x）-x-a=-2x²+2x-a，
函数g（x）在实数R上没有零点，则函数图象与x轴没有交点
故△=4-8a＜0，
解之得a＞

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点评：本题考查求解函数解析式及一元二次方程的根的分布与系数的关系，着重考查待定系数法，考查二次函数零点，属于中档题．