Question

7．已知R上的连续函数g（x）满足：
①当x＞0时，g'（x）＞0恒成立（g'（x）为函数g（x）的导函数）；
②对任意的x∈R都有g（x）=g（-x），又函数f（x）满足：对任意的x∈R，都有$f（\sqrt{3}+x）=f（x-\sqrt{3}）$成立．
当$x∈[-\sqrt{3}，\sqrt{3}]$时，f（x）=x³-3x．若关于x的不等式g[f（x）]≤g（a²-a+2）对$x∈[-\frac{3}{2}-2\sqrt{3}，\frac{3}{2}+2\sqrt{3}]$恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A． a∈R
• B． 0≤a≤1
• C． $-\frac{1}{2}-\frac{{3\sqrt{3}}}{4}≤a≤-\frac{1}{2}+\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$
• D． a≤0或a≥1

Answer 1

分析 由题意，g（x）是偶函数，（0，+∞）单调知识，f（x）是奇函数，且是周期函数，周期为2$\sqrt{3}$，关于x的不等式g[f（x）]≤g（a²-a+2）对$x∈[-\frac{3}{2}-2\sqrt{3}，\frac{3}{2}+2\sqrt{3}]$恒成立，转化为|f（x）|_max≤a²-a+2，即可求出a的取值范围．

解答 解：由题意，g（x）是偶函数，（0，+∞）单调知识，f（x）是奇函数，且是周期函数，周期为2$\sqrt{3}$，
当$x∈[-\sqrt{3}，\sqrt{3}]$时，f（x）=x³-3x，f′（x）=3（x+1）（x-1），函数在x=-1处取得极大值2，x=1处取得极小值-2，
∵关于x的不等式g[f（x）]≤g（a²-a+2）对$x∈[-\frac{3}{2}-2\sqrt{3}，\frac{3}{2}+2\sqrt{3}]$恒成立，
∴|f（x）|_max≤a²-a+2，
∴a²-a+2≥2，
∴a²-a≥0，
∴a≤0或a≥1，
故选D．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性、奇偶性、极值，正确转化是关键．