Question

已知集合A既是分式不等式

1

x-3

＜1的解集，又是一元二次不等式x²+ax+b＞0的解集．
（1）求集合A；
（2）求实数a，b的值．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,一元二次不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）解分式不等式求得A．
（2）根据A利用韦达定理求得实数a，b的值．

解答： 解：（1）

1

x-3

＜1⇒

1

x-3

-1＜0⇒

4-x

x-3

＜0⇒(4-x)(x-3)＜0⇒x＜3或x＞4，
所以集合A=（-∞，3）∪（4，+∞）．
（2）根据集合A为一元二次不等式x²+ax+b＞0的解集，则方程x²+ax+b=0的根即为x₁=3，x₂=4，
由韦达定理知

x1+x2=-a x1•x2=b

⇒

a=-7 b=12

．

点评：本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，韦达定理的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．