Question

16．（4x²+6x+$\frac{9}{4}}$）⁴的展开式中，含有x⁴的项的系数为4374．

Answer 1

分析 根据（4x²+6x+$\frac{9}{4}}$）⁴=[（4x²+6x）+$\frac{9}{4}}$]⁴，它的通项公式为T_r+1=${C}_{4}^{r}$•（4x²+6x）^4-r•${（\frac{9}{4}）}^{r}$．对于（4x²+6x）^4-r，再求得它的通项公式，可得含有x⁴的项的系数．

解答 解：（4x²+6x+$\frac{9}{4}}$）⁴=[（4x²+6x）+$\frac{9}{4}}$]⁴，它的通项公式为T_r+1=${C}_{4}^{r}$•（4x²+6x）^4-r•${（\frac{9}{4}）}^{r}$．
对于（4x²+6x）^4-r，它的通项公式为T_k+1=${C}_{4-r}^{k}$•4^4-r-k•6^k•x^8-2r-k，0≤k≤4-r，k、r均为自然数．
令8-2r-k=4，可得k=0、r=2，或k=2、r=1．
∴含有x⁴的项的系数为 ${C}_{4}^{2}$•${（\frac{9}{4}）}^{2}$•${C}_{2}^{0}$•4²•6⁰+${C}_{4}^{1}$•$\frac{9}{4}$•${C}_{3}^{2}$•4•6²=4374，
故答案为：4374．

点评 本题考查了二项式展开式定理的应用问题，解题时应用展开式的通项公式求特定项的系数，是中档题目．