Question

（本小题满分14分）
已知函数为常数，数列满足：，，．
（1）当时，求数列的通项公式；
（2）在（1）的条件下，证明对有：；
（3）若，且对，有，证明：．

Answer 1

（1），
（2）可以用裂项法求和进而证明也可以用数学归纳法证明
（3）可以用基本不等式证明也可以用导数证明，还可以利用数列的单调性证明

试题分析：（1）当时，，
两边取倒数，得，                                           ……2分
故数列是以为首项，为公差的等差数列，
，，．                                      ……4分
（2）证法1：由（1）知，故对
         ……6分
所以 
．                            ……9分
[证法2：①当n=1时，等式左边，等式右边，左边=右边，等式成立；                                                  ……5分
②假设当时等式成立，
即，
则当时

这就是说当时，等式成立，                                       ……8分
综①②知对于有：
．                      ……9分】
（3）当时，
则，                              ……10分
∵，
∴                      ……11分

．                          ……13分
∵与不能同时成立，∴上式“=”不成立，
即对，．                                    ……14分
【证法二：当时，，
则                                       ……10分
又
                                         ……11分
令则                      ……12分
当所以函数在单调递减，故当所以命题得证                   ……14分】
【证法三：当时，，            ……11分
 
数列单调递减，
，
所以命题得证                                                        ……14分】
点评：本小题比较综合，既考查了数列的通项公式的求解，也考查了数列的前n项的求解，还考查了数列的性质的应用以及基本不等式、导数等的综合应用，难度较大，要求学生具有较高的分析问题、转化问题、解决问题的能力和运算求解能力.