Question

2．如图，已知E、F、G分别是棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AA₁、CC₁、DD₁的中点．
（1）判断多面体EGD₁BCF是否是棱柱，并求它的体积；
（2）求证：平面EBFD₁⊥平面BB₁D₁D．

Answer 1

分析 （1）充分利用正方体的对称性，可通过三角形全等证明多面体EGD₁BCF是棱柱；
（2）由E、F是正方体对棱的中点，可得四边形EBFD₁为菱形，从而得到线线垂直，问题将迎刃而解．

解答 （1）解：由题意△D₁EG≌△FBC，平面D₁EG∥平面FBC，
∴多面体EGD₁BCF是棱柱；
多面体EGD₁BCF的体积=$\frac{1}{2}×2×1×2$=2；
（2）证明：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∵四边形EBFD₁是平行四边形．AE=A₁E，FC=FC₁，
∴Rt△EAB≌Rt△FCB，∴BE=BF，故四边形EBFD₁为菱形．
连结EF、BD₁、A₁C₁．
∵四边形EBFD₁为菱形，∴EF⊥BD₁，
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，有B₁D₁⊥A₁C₁，B₁D₁⊥A₁A，∴B₁D₁⊥平面A₁ACC₁．
又EF?平面A₁ACC₁，∴EF⊥B₁D₁．
又B₁D₁∩BD₁=D₁，∴EF⊥平面BB₁D₁D．
又EF?平面EBFD₁，故平面EBFD₁⊥平面BB₁D₁D．

点评 证明面面垂直的关键是证明线面垂直，而线面垂直又是通过线线垂直实现的，充分利用正方体的对称性，通过证明四边形EBFD₁是菱形证明线线垂直是本题证明的关键．