Question

12．已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x-4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为2$\sqrt{3}$，圆C的面积小于13．
（1）求圆C的标准方程；
（2）一条光线从点A（4，1）出发，经直线y=x-5反射后与圆C相切，求入射光线所在直线的斜率．

Answer 1

分析 （1）利用点到直线的距离公式，结合勾股定理，建立方程，根据圆C的面积小于13，即可求圆C的标准方程；
（2）求出圆C关于直线y=x-5的对称点的圆的标准方程，利用圆心到直线的距离d=r，即可求入射光线所在直线的斜率．

解答 解：（I）设圆C：（x-a）²+y²=R²（a＞0），
由题意知R=$\frac{|3a+7|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\sqrt{{a}^{2}+3}$，解得a=1或a=$\frac{13}{8}$，
又∵S=πR²＜13，
∴a=1，
∴圆C的标准方程为：（x-1）²+y²=4．    
（2）圆C的标准方程为：（x-1）²+y²=4，圆心坐标为C（1，0），半径为2．
设C关于直线y=x-5的对称点的坐标为（a，b），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{a-1}•1=-1}\\{\frac{b}{2}=\frac{1+a}{2}-5}\end{array}\right.$，
∴a=5，b=-4，
∴圆C关于直线y=x-5的对称点的圆的标准方程为：（x-5）²+（y+4）²=4，
设入射光线所在直线的斜率为k，方程为y-1=k（x-4），即kx-y-4k+1=0，
圆心到直线的距离d=$\frac{|5k+4-4k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，∴k=$\frac{5±2\sqrt{22}}{3}$．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．