Question

15．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{2^x}+2}}{2}，x≤1\\|ln（{x-1}）|，x＞1\end{array}$，则函数F（x）=f[f（x）]-af（x）-$\frac{3}{2}$的零点个数是4个时，下列选项是a的取值范围的子集的是（　　）

• A． $（{\frac{1}{2}，+∞}）∪\left\{{\frac{ln2}{2}}\right\}$
• B． $[{\frac{ln2}{2}，+∞}）$
• C． $（{0，\frac{1}{2}}）∪\left\{{\frac{ln2}{2}}\right\}$
• D． $[{\frac{ln2}{2}，\frac{1}{2}}）$

Answer 1

分析 作出f（x）的函数图象，判断方程f（x）=t的根的分布情况，得出f（t）=at+$\frac{3}{2}$的交点横坐标的范围，从而得出答案．

解答 解：作出f（x）的函数图象如图所示：

令f（x）=t，则由图象可知：
当t=0时，f（x）=t有1解，
当0＜t＜1或t＞2时，f（x）=t有2解，
当1＜t≤2时，f（x）=t有3解，
令F（x）=0得f（t）=at+$\frac{3}{2}$，
显然t=0是方程f（t）=at+$\frac{3}{2}$的一个解，
而f（x）=0只有一解，
故直线y=at+$\frac{3}{2}$直线在（1，2）上与f（x）有1个交点即可；
（1）若a$＞\frac{1}{2}$，显然直线y=ax+$\frac{3}{2}$与f（x）在（1，2）上有1个交点，符合题意；
（2）当a=$\frac{ln2}{2}$时，直线y=at+$\frac{3}{2}$与f（t）在（-∞，1）上的图象相切，且与f（x）在（1，2）上有1个交点，符合题意．
故选A．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．