Question

20．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的交点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于M，N两点，若MR⊥l，垂足为R，且∠NRM=∠NMR，则直线MN的斜率为（　　）

• A． ±8
• B． ±4
• C． ±2$\sqrt{2}$
• D． ±2

Answer 1

分析 过N作NQ⊥l，交l于Q，NH⊥MR，交MR于H，利用抛物线的定义及等腰三角形的性质，根据勾股定理即可求得线MN的斜率．

解答 解：过N作NQ⊥l，交l于Q，NH⊥MR，交MR于H，
由抛物线的定义可知：丨MF丨=丨MR丨，丨NF丨=丨MQ丨，
由∠NRM=∠NMR，则△MNR为等腰三角形，
∴丨MQ丨=丨RH丨=丨MH丨=$\frac{1}{2}$丨MR丨，
则丨MN丨=丨MF丨+丨NF丨，
∴丨MN丨=3丨NQ丨，即丨MN丨=3丨MH丨，
则丨NH丨=$\sqrt{丨MN{丨}^{2}-丨MH{丨}^{2}}$=2$\sqrt{2}$丨MH丨
则tan∠NMR=$\frac{丨NH丨}{丨MH丨}$=2$\sqrt{2}$，
则直线的倾斜角α=∠NMR，
则直线MN的斜率k=±tanα=2$\sqrt{2}$，
故选C．

点评 本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，考查等腰三角形的性质，勾股定理的应用，考查数形结合思想，属于中档题．