Question

6．四面体的顶点和各棱中点共10个点，则由这10点构成的直线中，有423对异面直线．

Answer 1

分析 首先我们确定四面体的顶点和各棱的中点共10个点．可以构成的三棱锥个数（在这10点中取4个不共面的点的情况），每个三棱锥中有3对异面直线，则可得这10点构成的直线中，异面直线的对数．

解答 解：首先我们确定四面体的顶点和各棱的中点共10个点．
可以构成的三棱锥个数（在这10点中取4个不共面的点的情况）
取出的4点不共面比取出的4点共面的情形要复杂，故采用间接法：
从10个点中任取4个点有C₁₀⁴种取法，
其中4点共面的情况有三类．
第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C₆⁴种；
第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；
第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），
它的4顶点共面，有3种．
以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有C₁₀⁴-4C₆⁴-6-3=141种．
即这10个点可以构成141个三棱锥，每个三棱锥中有3对异面直线，
所以则由这10点构成的直线中，共有141×3=423对异面直线．
故答案为：423

点评 本题考查排列组合的解决简单实际问题，分类加法计数原理、分步乘法计数原理，属于难题．