Question

已知关于x的方程lnx=mx，x∈（0，a），若存在a，m，使此方程有两个不同的实数解，则称实数对（a，m）为此方程的“D-S-P”，则在（

1

2

，-

1

e

），（

e

，

1

3 e

），（2e，

2ln2

e

），（e²，

5

2e2

）中，“D-S-P”点有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：当l与C相切时，利用导数求得切点横坐标为x₀=e，切线斜率为m=

1

e

，只要a＞e，

lna

a

＜m＜

1

e

即可（

lna

a

=

lna-0

a-0

为（a，lna）与原点连线的斜率）．

解答： 解：由题意，如图所示，
当l与C相切时，利用导数求得切点横坐标为x₀=e，切线斜率为m=

1

e

，
∴只要a＞e，

lna

a

＜m＜

1

e

即可（

lna

a

=

lna-0

a-0

为（a，lna）与原点连线的斜率）．
对于（

1

2

，-

1

e

），∵-

1

e

＜0，∴（

1

2

，-

1

e

）不是“D-S-P”点；
对于（

e

，

1

3 e

），∵

e

＜e，∴（

e

，

1

3 e

）不是“D-S-P”点；
对于（2e，

2ln2

e

），∵

2ln2

e

＞

1

e

，∴（2e，

2ln2

e

）不是“D-S-P”点；
对于（e²，

5

2e2

），∵e²＞e，

lna

a

=

2

e2

=

4

2e2

＜

5

2e2

＜

1

e

，∴（e²，

5

2e2

）是“D-S-P”点．
故选：A．

点评：本题考查利用导数研究函数的性质、含参数的存在性问题，考查新定义，考查数形结合的数学思想，属于中档题．