Question

已知函数f（x）=（x+1）ln（x+1）-x，g（x）=a（e^x-x），若f（x）-x²≤（x+1）g（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：依题意，f（x）-x²≤（x+1）g（x）恒成立?a（e^x-x）≥ln（x+1）-x恒成立，令y=e^x-x，利用导数可求得y_最小值=e⁰-0=1，故问题转化为求a≥

ln(x+1)-x

ex-x

恒成立．
令t（x）=ln（x+1）-x（x＞-1），易求t（x）_极大值=t（x）_最大值=t（0）=0，从而可求得(

ln(x+1)-x

ex-x

)max=0，继而得到a的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=（x+1）ln（x+1）-x，g（x）=a（e^x-x），
∴f（x）-x²≤（x+1）g（x）恒成立?（x+1）[ln（x+1）-x]≤a（x+1）（e^x-x）恒成立，又x+1＞0，
∴a（e^x-x）≥ln（x+1）-x恒成立，
令y=e^x-x，则y′=e^x-1，当-1＜x＜0时，y′＜0；当x＞0时，y′＞0，
∴当x=0时，y=e^x-x取得极小值，也是最小值，即y_最小值=e⁰-0=1＞0，①
∴a≥

ln(x+1)-x

ex-x

恒成立．
令t（x）=ln（x+1）-x（x＞-1），则t′（x）=

1

x+1

-1=

-x

x+1

，当-1＜x＜0时，y′＞0；当x＞0时，y′＜0，
∴当x=0时，t（x）=ln（x+1）-x取得极大值，t（x）_极大值=t（x）_最大值=t（0）=ln1-0=0，②
由①②知，y=

ln(x+1)-x

ex-x

中，当x=0时，分子t（x）_最大值=0，分母y_最小值=1，
∴(

ln(x+1)-x

ex-x

)max=0，
∴a≥0．

点评：本题考查函数恒成立问题，求得(

ln(x+1)-x

ex-x

)max=0是关键，也是难点，考查等价转化思想与运算求解能力，属于难题．