Question

过双曲线的一个焦点，存在直线l交双曲线于A，B两点，O为中心，OA⊥OB，则双曲线离心率的范围是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），焦点为F（c，0），设直线AB：y=k（x-c），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线方程和双曲线方程，消去y，运用韦达定理和判别式大于0，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得k，代入判别式解不等式，即可得到离心率的范围．

解答： 解：设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
焦点为F（c，0），
设直线AB：y=k（x-c），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则联立直线方程和双曲线的方程，可得
（b²-a²k²）x²+2ca²k²x-a²k²c²-a²b²=0，
则△=4c²a⁴k⁴+4（b²-a²k²）（a²k²c²+a²b²）＞0，
x₁+x₂=

-2ca2k2

b2-a2k2

，x₁x₂=

-a2k2c2-a2b2

b2-a2k2

，
则y₁y₂=k²（x₁x₂+c²-c（x₁+x₂））=k²•

a2b2-b2c2

a2k2-b2

，
由于OA⊥OB，则有x₁x₂+y₁y₂=0，
即有a²b²+a²k²c²+k²（a²b²-b²c²）=0，
即有k²=

a2b2

b2c2-a4

，
代入判别式可得，

a2b2

b2c2-a4

•（a²b²c²-a⁴b²）+a²b⁴＞0，
化简可得，a²c²-a⁴+b²c²-a⁴＞0，
即有c⁴＞2a⁴，即有e=

c

a

＞

4	2

．
故答案为：（

4	2

，+∞）．

点评：本题考查双曲线的离心率的范围，考查联立直线方程和双曲线方程，消去未知数，运用韦达定理和判别式大于0，考查运算能力，属于中档题和易错题．