Question

8．定义在R上的奇函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，且当0＜x≤1时，f（x）=log₃x，则方程$f（x）=f（0）-\frac{1}{3}$在区间（0，10）内所有的实根之和为30．

Answer 1

分析 由题意求出函数周期，并求得方程$f（x）=f（0）-\frac{1}{3}$的解在（0，2），（4，6），（8，10）上存在，并且每个区间上存在两个关于区间中间值对称的两解．然后结合中点坐标公式求得答案．

解答 解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）=0，f（-x）=-f（x），
又f（x）关于直线x=1对称，∴f（1+x）=f（1-x），
可得f（2+x）=f（-x）=-f（x），
∴f（4+x）=-f（2+x）=-[-f（x）]=f（x）．
∴f（x）是以4为周期的周期函数．
当0＜x≤1时，f（x）=log₃x≤0，
当-1≤x＜0时，0＜-x≤1，∴f（-x）=log₃（-x），则f（x）=-log₃（-x）≥0．
$f（x）=f（0）-\frac{1}{3}$=-$\frac{1}{3}$＜0．
∴方程$f（x）=f（0）-\frac{1}{3}$的解在（0，2），（4，6），（8，10）上存在，并且每个区间上存在两个关于区间中间值对称的两解．
则方程$f（x）=f（0）-\frac{1}{3}$在区间（0，10）内所有的实根之和为2×1+2×5+2×9=30．
故答案为：30．

点评 本题考查根的存在性与根的个数判断，考查了函数的奇偶性与周期性，考查数学转化思想方法，是中档题．