Question

16．已知函数$f（x）=\frac{1+lnx}{x}$，证明：f（x）≤1．

Answer 1

分析 令g（x）=lnx-x+1，g'（x）=$\frac{1}{x}$-1，确定函数的单调性，证明g（x）=lnx-x+1≤g（1）=0，即可证明结论．

解答 证明：f（x）≤1，只需要证明 lnx+1≤x．
令g（x）=lnx-x+1，g'（x）=$\frac{1}{x}$-1 
x≥1时，g'（x）≤0，所以g（x）是减函数；0＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）是增函数，
所以g（x）=lnx-x+1≤g（1）=0，
∴lnx+1≤x，∴$f（x）=\frac{1+lnx}{x}$．

点评 本题考查不等式的证明，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．