Question

（2013•绍兴一模）如图，正四面体ABCD的顶点C在平面α内，且直线BC与平面α所成角为45°，顶点B在平面α上的射影为点O，当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面α所成角的正弦值等于（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

A

【解析】

试题分析：由题意，可得当O、B、A、C四点共面时顶点A与点O的距离最大，设此平面为β．由面面垂直判定定理结合BO⊥α，证出β⊥α．过D作DE⊥α于E，连结CE，根据面面垂直与线面垂直的性质证出DH∥α，从而点D到平面α的距离等于点H到平面α的距离．设正四面体ABCD的棱长为1，根据BC与平面α所成角为45°和正四面体的性质算出H到平面α的距离，从而在Rt△CDE中，利用三角函数的定义算出sin∠DCE=，即得直线CD与平面α所成角的正弦值．

【解析】
∵四边形OBAC中，顶点A与点O的距离最大，

∴O、B、A、C四点共面，设此平面为β

∵BO⊥α，BO?β，∴β⊥α

过D作DH⊥平面ABC，垂足为H，

设正四面体ABCD的棱长为1，则Rt△HCD中，CH=BC=

∵BO⊥α，直线BC与平面α所成角为45°，

∴∠BCO=45°，结合∠HCB=30°得∠HCO=75°

因此，H到平面α的距离等于HCsin75°=×=

过D作DE⊥α于E，连结CE，则∠DCE就是直线CD与平面α所成角

∵DH⊥β，α⊥β且DH?α，∴DH∥α

由此可得点D到平面α的距离等于点H到平面α的距离，即DE=

∴Rt△CDE中，sin∠DCE==，即直线CD与平面α所成角的正弦值等于

故选：A