Question

设椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线交椭圆E于A，B两点，满足AF₁=2F₁B，且AB=3，△ABF₂的周长为12．
（1）求AF₂；
（2）若cos∠F₁AF₂=-

1

4

，求椭圆E的方程．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据椭圆的定义求解即可．
（2）结合椭圆的定义和余弦定理求解即可．

解答： 解：如图：（1）AF₁=2F₁B，AB=3，
∴AF₁=2F₁B=1，
∵4a=12，
∴a=3，
∴AF₁+AF₂=6，
∴AF₂=4
（2）∵AF₁=2，AF₂=4，cos∠F₁AF=-

1

4

，
∴F1F2=

24

=2

6

，
∴c=

3

，
∴椭圆的方程为：

x2

9

+

y2

3

=1

点评：本题主要考查椭圆的定义和性质，属于基础题．