Question

若函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，则对一切x＞0，y＞0满足f（xy）=f（x）+f（y），则不等式f（x+6）+f（x）＜2f（4）的解集为

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由条件可得，不等式即 f[x（x+6）]＜f（16），得到关于x的不等式组，解得即可

解答： 解：：∵对一切x，y＞0满足f（x）+f（y）=f（x•y），
∴2f（4）=f（4）+f（4）=f（16）
∵f（x+6）+f（x）＜2f（4），
∴f[x（x+6）]＜f（16），
∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
即 f[x（x+6）]＜f（4×4），
∴

x+6＞0 x＞0 0＜x(x+6)＜16

，
解得 0＜x＜2，
故不等式的解集为（0，2）
故答案为：（0，2）．

点评：本题主要考查函数的定义域和单调性的应用，属于中档题．