Question

4．已知f（x）为定义在[-1，1]上的奇函数，当x∈[-1，0]时，函数解析式f（x）=$\frac{1}{{4}^{x}}$-$\frac{a}{{2}^{x}}$（a∈R）．
（1）写出f（x）在[0，1]上的解析式；
（2）求f（x）在[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出a=1；设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，利用条件，即可写出f（x）在[0，1]上的解析式；
（Ⅱ）利用换元法求f（x）在[0，1]上的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）为定义在[-1，1]上的奇函数，且f（x）在x=0处有意义，
∴f（0）=0，即f（0）=$\frac{1}{40}$-$\frac{a}{20}$=1-a=0．
∴a=1．…（3分）
设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]．
∴f（-x）=$\frac{1}{4-x}$-$\frac{1}{2-x}$=4^x-2^x．
又∵f（-x）=-f（x）
∴-f（x）=4^x-2^x．
∴f（x）=2^x-4^x．…（8分）
（Ⅱ）当x∈[0，1]，f（x）=2^x-4^x=2^x-（2^x）²，
∴设t=2^x（t＞0），则f（t）=t-t²．
∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]．
当t=1时，取最大值，最大值为1-1=0．…（12分）

点评 本题考查函数的奇偶性，考查函数解析式的确定，考查函数的最值，考查学生的计算能力，属于中档题．