Question

12．食品安全是关乎到人民群众生命的大事．某市质检部门为了解该市甲、乙两个食品厂生产食品的质量，从两厂生产的食品中分别随机抽取各10件样品，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）．如图是测量数据的茎叶图：

规定：当食品中的此种元素含量不小于18毫克时，该食品为优等品．
（Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；
（Ⅱ）从乙厂抽出的上述10件样品中，随机抽取3件，求抽到的3件样品中优等品数ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；
（Ⅲ）从甲厂的10件样品中有放回的随机抽取3件，也从乙厂的10件样品中有放回的随机抽取3件，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）甲厂抽取的样本中优等品有6件，乙厂抽取的优等品率有5件，由此能估计甲、乙两厂生产的优等品率．
（Ⅱ）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
（Ⅲ）抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即A=“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件“，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件“，由此能求出抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
乙厂抽取的优等品率有5件，优等品率为$\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）由ξ的值0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{5}^{0}{C}_{5}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{12}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{5}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{5}{12}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{5}{12}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{12}$，
ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{12}$

Eξ=$0×\frac{1}{12}+1×\frac{5}{12}+2×\frac{5}{12}$+3×$\frac{1}{12}$=$\frac{3}{2}$．
（Ⅲ）抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，
即A=“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件“，
B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件“，
P（A）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{5}）^{2}（\frac{2}{5}）$×${C}_{3}^{0}（\frac{1}{2}）^{0}（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{27}{500}$，
P（B）=${C}_{3}^{3}（\frac{3}{5}）^{3}×{C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{81}{1000}$，
∴抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率P=P（A）+P（B）=$\frac{27}{500}+\frac{81}{1000}$=$\frac{27}{200}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．