Question

7．$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+$…$+\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 列项$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，累加，即可求得答案．

解答 解：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
则$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+$…$+\frac{1}{n（n+1）}$=（$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
=1-$\frac{1}{n+1}$，
=$\frac{n}{n+1}$
故答案为：$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于基础题．