Question

已知函数g（x）=a-x²（

1

e

≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（　　）

• A、[1，

  1

  e2

  +2]
• B、[1，e²-2]
• C、[

  1

  e2

  +2，e²-2]
• D、[e²-2，+∞）

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：由已知，得到方程a-x²=-2lnx?-a=2lnx-x²在[

1

e

，e]上有解，构造函数f（x）=2lnx-x²，求出它的值域，得到-a的范围即可．

解答： 解：由已知，得到方程a-x²=-2lnx?-a=2lnx-x²在[

1

e

，e]上有解．
设f（x）=2lnx-x²，求导得：f′（x）=

2

x

-2x=

2(1-x)(1+x)

x

，
∵

1

e

≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，
∵f（

1

e

）=-2-

1

e2

，f（e）=2-e²，f（x）_极大值=f（1）=-1，且知f（e）＜f（

1

e

），
故方程-a=2lnx-x²在[

1

e

，e]上有解等价于2-e²≤-a≤-1．
从而a的取值范围为[1，e²-2]．
故选B．

点评：本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程a-x²=-2lnx?-a=2lnx-x²在[

1

e

，e]上有解．