Question

关于函数f（x）=2sin（x+φ）（φ为常数）和g(x)=-

1

2

cos(2x+

π

6

)（x∈R），h（x）=f（x）+g（x）；如下命题：
①设f（x）与g（x）的最小正周期分别是T₁与T₂，那么T₁+T₂=3π；
②当φ=

π

12

时，在区间(-

π

12

，

π

6

)上，f（x）与g（x）都是增函数；
③当φ=0时，h（x）的最大值是

5

2

；
④当φ=

π

2

时，h（x）为偶函数．
其中正确命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：根据正弦函数和余弦函数的图象和性质，以及周期的定义函数的奇偶性和最值可知①②正确，③④错误

解答： 解：∵f（x）=2sin（x+φ）（φ为常数）和g(x)=-

1

2

cos(2x+

π

6

)（x∈R），
∴T₁=2π，T₂=π，故T₁+T₂=3π；①正确，
当φ=

π

12

时函数f（x）的单调增区间为[2kπ-

7π

12

，2kπ+

5π

12

]，k∈z，
函数g（x）的单调增区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈z，
故在区间(-

π

12

，

π

6

)上，f（x）与g（x）都是增函数；故②正确，
∵h（x）=f（x）+g（x）=2sin（x+φ）-

1

2

cos（2x+

π

6

），
当φ=0时，h（x）=2sinx-

1

2

cos（2x+

π

6

），当x=

π

2

时，h（

π

2

）=2+

3

4

＜

5

2

故③错误
当φ=

π

2

时，h（x）=-2cosx-

1

2

cos（2x+

π

6

）=-2cosx-

3

4

cos2x+

1

4

sin2x，h（-x）=-2cosx-

3

4

cos2x-

1

4

sin2x≠h（x），
故④错误，
故答案为：①②

点评：本题主要考查了正弦函数和余弦函数的图象和性质，属于基础题