Question

已知在数列{a_n}中，a₁=3，点（a_n，a_n+1）在直线y=x+2上，若数列{b_n}满足b_n=a_n•3ⁿ，记T_n是数列{b_n}的前n项的和，那么T_n=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得a_n+1=a_n+2，从而数列{a_n}是以3为首项，以2为公差的等差数列，a_n=3+2（n-1）=2n+l，从而b_n=（2n+1）•3ⁿ，由此能求出{b_n}的前n项的和．

解答： 解：∵点（a_n，a_n+1）在直线y=x+2上，
∴a_n+1=a_n+2，即a_n+1-a_n=2，
∴数列{a_n}是以3为首项，以2为公差的等差数列，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+l．
∵bn=an•3n，
∴b_n=（2n+1）•3ⁿ，
∴T_n=3×3+5×3²+7×3³+…+（2n+1）•3ⁿ，①
∴3T_n=3×3²+5×3³+…+（2n-1）•3ⁿ+（2n+1）•3ⁿ⁺¹，②
①-②，得-2T_n=3×3+2（3²+3³+…+3ⁿ）-（2n+1）•3ⁿ⁺¹
=9+2×

9(1-3n-1)

1-3

-（2n+1）•3ⁿ⁺¹
=-2n•3ⁿ⁺¹，
∴T_n=n•3ⁿ⁺¹．
故答案为：n•3ⁿ⁺¹．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．