Question

正方形ABCD的边长为1，点M，N分别在线段AB，AD上．若3|MN|²+|CM|²+|CN|²=

9

2

，则|AM|+|AN|的最大值是

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：综合题,直线与圆

分析：设AM=x，AN=y，（x≥0，y≥0），根据条件建立x，y满足的方程，利用直线和圆的位置关系求取值范围，即可得出结论．

解答： 解：设AM=x，AN=y，（x≥0，y≥0）
正方形ABCD的边长为1，点M，N分别在线段AB，AD上，
∴BM=1-x，DN=1-y，
由勾股定理，MN²=x²+y²，CM²=（1-x）²+1，CN²=1+（1-y）²，
代入已知式得若3|MN|²+|CM|²+|CN|²=

9

2

，
得3（x²+y²）+（1-x）²+1+1+（1-y）²=

9

2

，
∴（x-

1

4

）²+（y-

1

4

）²=

1

4

，（x≥0，y≥0），
则|AM|+|AN|=x+y，
设z=x+y，
由图象可知当直线y=-x+z经过原点时z取得最小值z=0，
当直线x+y-z=0与圆相切时，
圆心（

1

4

，

1

4

）到直线的距离d=

| 1 2 -z|

=

1

2

，
解得z=

1+ 2

2

或z=

1- 2

2

（舍去）
∴|AM|+|AN|的最大值是

1+ 2

2

．
故答案为：

1+ 2

2

．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据题意将条件转化为直线和圆的位置分析是解决本题的关键，利用数形结合此类问题的常用方法．