题目内容
在双曲线
-
=1的两条渐近线上分别取点A、B，使得|
|•|
|=c2，则线段AB中点P的轨迹方程为 ．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| OA |
| OB |
考点：双曲线的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：由题意可得双曲线
-
=1的渐近线方程为y=±
x，从而设A（m，
m），B（n，-
n）；从而可得
•
=c2，化简可得|mn|=a2，令
=x，
（
）=y，从而解得m=x+
y，n=（x-
y），从而解得
-
=1或
-
=-1．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
m2+
|
n2+
|
| m+n |
| 2 |
| b |
| a |
| m-n |
| 2 |
| a |
| b |
| a |
| b |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
解答：
解：∵双曲线
-
=1的渐近线方程为y=±
x，
∴设A（m，
m），B（n，-
n）；
∴P（
，
（
））；
则由|
|•|
|=c2可得，
•
=c2，
即
|mn|=c2，
则|mn|=a2，
令
=x，
（
）=y，
则m=x+
y，n=（x-
y），
则上式可化为
|（x+
y）（x-
y）|=a2，
故
-
=1或
-
=-1．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| b |
| a |
∴设A（m，
| b |
| a |
| b |
| a |
∴P（
| m+n |
| 2 |
| b |
| a |
| m-n |
| 2 |
则由|
| OA |
| OB |
m2+
|
n2+
|
即
| c2 |
| a2 |
则|mn|=a2，
令
| m+n |
| 2 |
| b |
| a |
| m-n |
| 2 |
则m=x+
| a |
| b |
| a |
| b |
则上式可化为
|（x+
| a |
| b |
| a |
| b |
故
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
点评：本题考查了双曲线的应用，同时考查了轨迹方程的求法，属于难题．
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| 32 |
| 3 |
| A、1 | B、2 | C、3 | D、4 |
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| A、30 | B、25 | C、20 | D、16 |
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| A、4 | ||
B、
| ||
C、-
| ||
| D、-4 |