Question

已知函数f（x）=Asinwx+Bcoswx（其中A、B、w是常数w＞0）的最小周期为2，并且当x=

1

3

取得最大值2．
（1）求函数f（x）的表达式
（2）在闭区间[

21

4

，

23

4

]上是否存在f（x）对称轴，如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，说明理由．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,两角和与差的正弦函数,正弦函数的对称性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用辅助角公式可知f（x）=2sin（πx+θ），又f（

1

3

）=2sin（

π

3

+θ）=2，|θ|＜

π

2

，可求得θ=

π

6

，于是可得函数f（x）的表达式；
（2）

21

4

≤x≤

23

4

⇒4π+

17π

12

≤πx+

π

6

≤4π+

23π

12

（k∈Z），利用正弦函数的单调性质可知，当πx+

π

6

=4π+

3π

2

时，f（x）有最小值-2，解得x=

16

3

，于是可得答案．

解答： 解：（1）f（x）=

A2+B2

sin（wx+θ）（其中θ为辅助角|θ|＜

π

2

）
由题意得

A2+B2

=2，

2π

w

=2，∴w=π；
∴f（x）=2sin（πx+θ），又f（

1

3

）=2sin（

π

3

+θ）=2，|θ|＜

π

2

，
∴θ=

π

6

，∴f（x）=2sin（πx+

π

6

），（6分）
（2）∵

21

4

≤x≤

23

4

，∴

65π

12

≤πx+

π

6

≤

71π

12

，即4π+

17π

12

≤πx+

π

6

≤4π+

23π

12

（k∈Z），
当πx+

π

6

=4π+

3π

2

时，f（x）有最小值-2，解得x=

16

3

；
∴在闭区间[

21

4

，

23

4

]上存在f（x）的对称轴，其方程为x=

16

3

．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查辅助角公式的应用，突出考查正弦函数的单调性与对称轴，属于中档题．