Question

9．设函数f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a，其中，ω＞0，a∈R．
（I）若函数f（x）在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为$\frac{π}{6}$，求ω的值；
（Ⅱ）在（I）的条件下，若f（x）在区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]上的最小值为$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，求实数a的值；
（Ⅲ）若函数f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上单调递增，求实数ω的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由题意可得2ω•$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，求得ω的值．
（Ⅱ）在（I）的条件下，x+$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{7π}{6}$]，可得函数的最小值为-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，由此可得a的值．
（Ⅲ）由函数f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上单调递增，可得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{π}{2}≤2ω•（-\frac{π}{4}）+\frac{π}{3}}\\{2ω•\frac{π}{2}+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，由此求得ω 的范围．

解答 解：（I）∵函数f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a，其中，ω＞0，
函数f（x）在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为$\frac{π}{6}$，∴2ω•$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，求得ω=$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）在（I）的条件下，f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a，
 在区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]上，x+$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{7π}{6}$]，故函数的最小值为-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，∴a=1．
（Ⅲ）若函数f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上单调递增，则$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{π}{2}≤2ω•（-\frac{π}{4}）+\frac{π}{3}}\\{2ω•\frac{π}{2}+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，
求得ω≤$\frac{1}{6}$．

点评 本题主要考查正弦函数的图象特征，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性，属于中档题．