Question

已知实数x，y满足x-y+1=0（-1≤x≤4），则（x-3）²+y²的取值范围是

 

；

y-2

x

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（x-3）²+y²的表示线段MN：x-y+1=0（-1≤x≤4）上的点（x，y）到A（3，0）点的距离的平方，求得点A到直线x-y+1=0的距离以及A到点M（-1，0）的距离、A到点N（4的距离，数形结合可得（x-3）²+y²的取值范围．
由于

y-2

x

表示线段MN上的点（x，y）与点B（0，2）连线的斜率，求得K_BM 和K_BN 的值，数形结合求得

y-2

x

的取值范围．

解答： 解：如图：（x-3）²+y²的表示线段MN：x-y+1=0（-1≤x≤4）上的点（x，y）到A（3，0）点的距离的平方，
点A到直线x-y+1=0的距离为

|3-0+1|

2

=2

2

，A到点M（-1，0）的距离为4，A到点N（4，5）的距离为

(4-3)2+(5-0)2

=

26

，
故（x-3）²+y²的取值范围是为[2

2

，

26

]．
由于

y-2

x

表示线段MN上的点（x，y）与点B（0，2）连线的斜率，而K_BM=

2-0

0+1

=2，K_BN=

5-2

4-0

=

3

4

，
故

y-2

x

的取值范围是[2，+∞）∪（-∞，

3

4

]．
故答案为：[2

2

，

26

]；[2，+∞）∪（-∞，

3

4

]．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、斜率公式的应用，体现了数形结合、转化的数学思想，属于基础题．