Question

已知命题p：a²+a≤0；命题q：函数f（x）=lnx+

1

2

x²-ax在定义域内单调递增
（Ⅰ）若命题q为真命题，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若命题p为假，且“p∨q”为真，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用,简易逻辑

分析：对于（Ⅰ），利用导数判断函数单调性，转化为恒成立问题，求函数的最值即可．
对于（Ⅱ），将命题转化为解不等式组即可．

解答： 解：（Ⅰ）若命题q为真命题，即函数f(x)=lnx+

1

2

x2-ax在定义域内单调递增
则f′(x)=

1

x

+x-a≥0对x＞0恒成立--------（2分）
即f′(x)=

1

x

+x-a≥0在（0，+∞）上恒成立--------（4分）
得a≤x+

1

x

在（0，+∞）上恒成立∵x＞0，∴x+

1

x

≥2（当且仅当x=1时取等号）
∴a≤2，故a的取值范围是（-∞，2]．
（Ⅱ） 命题p：a²+a≤0?-1≤a≤0--------（8分）
∵命题p为假，且“p∨q”为真∴p假q真--------（10分）
∴

a＜-1或a＞0 a≤2

得a＜-1或0＜a≤2∴所求的实数a的取值范围为（-∞，-1）∪（0，2]--------（12分）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，命题的概念，以及不等式的解法，属于中档题