Question

已知函数f（x）=3^x+3^-x．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求函数的单调增区间，并证明．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）函数f（x）为偶函数，理由为函数的定义域关于原点对称，然后求出f（-x），化简后得到其等于f（x），从而根据偶函数的定义得到此函数为偶函数；
（2）函数在区间[0，+∞）上为增函数，理由为：在区间[0，+∞）上任取0≤x₁＜x₂，求出f（x₁）-f（x₂），通分后，根据设出的0≤x₁＜x₂，判定其差小于0，即f（x₁）＜f（x₂），从而得到函数为增函数．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=3^x+3^-x的定义域关于原点对称，
且f（-x）=3^-x+3^x=f（x），
故函数f（x）=3x+3-x是偶函数．
（2）函数的单调增区间为[0，+∞）．证明如下：
任取x₁、x₂使得0≤x₁＜x₂，
∴3x1＜3x2，x₁+x₂＞0
∴3x1-3x2＜0，3x1+x2＞1
则f（x₁）-f（x₂）=(3x1+3-x1)-(3x2+3-x2)=(3x1-3x2)+

3x2-3x1

3x1•3x2

=

(3x1-3x2)(3x1•3x2-1)

3x1•3x2

=

(3x1-3x2)(3x1+x2-1)

3x1+x2

＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
所以，函数f（x）=3^x+3^-x在区间[0，+∞）上是增函数．

点评：题考查了函数定义域及其求法，函数奇偶性的判定，以及函数单调性的判定．偶函数的判定方法为：f（-x）=f（x）且定义域关于原点对称；函数单调性的判别方法为：在定义域内任意取两个自变量设出其大小关系，利用作差的方法判定其对应的函数值的大小关系，从而得到函数的单调性．