Question

已知函数f（x）=x-1-alnx，a＞0．
（Ⅰ）若对任意x∈（0，+∞），都有f（x）≥0恒成立，求实数a的取值集合；
（Ⅱ）证明：（1+

1

n

）ⁿ＜e＜（1+

1

n

）ⁿ⁺¹（其中n∈N ^*，e为自然对数的底数）．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得x＞0，f′(x)=1-

a

x

，利用导数性质求出f（x）_极小值=f（a）=a-1-alna．由此求出a≥

1

1-lna

．
（Ⅱ）设数列a_n=（1+

1

n

）ⁿ，数列b_n=（1+

1

n

）ⁿ⁺¹，由

lim

x→∞

(1+

1

x

)x=e，得：

lim

n→∞

an=e，

lim

n→∞

bn=e．由已知条件推导出数列{a_n}单调递增且数列{b_n}单调递减，由此能证明（1+

1

n

）ⁿ＜e＜（1+

1

n

）ⁿ⁺¹（其中n∈N ^*，e为自然对数的底数）．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=x-1-alnx，a＞0，
∴x＞0，f′(x)=1-

a

x

，
由f′（x）=0，得x=a．
x∈（0，a）时，f′（x）＜0；x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．
∴f（x）的减区间是（0，a），增区间是（a，+∞），
∴f（x）_极小值=f（a）=a-1-alna．
∵对任意x∈（0，+∞），都有f（x）≥0恒成立，
∴f（x）_极小值=f（a）=a-1-alna≥0．
∴a≥

1

1-lna

．
（Ⅱ）证明：设数列a_n=（1+

1

n

）ⁿ，数列b_n=（1+

1

n

）ⁿ⁺¹，
由

lim

x→∞

(1+

1

x

)x=e，得：

lim

n→∞

an=e，

lim

n→∞

bn=e．
因此只需证数列{a_n}单调递增且数列{b_n}单调递减，
①证明数列{a_n}单调递增：
a_n=（1+

1

n

）ⁿ＜(

(1+ 1 n )+(1+ 1 n )+…+(1+ 1 n )

n+1

)n+1
=(

n+2

n+1

)n+1=a_n+1，
∴数列{a_n}单调递增．
②证明数列{b_n}单调递减：
b_n=（1+

1

n

）ⁿ⁺¹=

1

( n n+1 )n+1

=

1

(1- 1 n+1 )n+1

（ 令 t=-（n+1），换元 ）
=（1+

1

t

）^t=a_t，
由①得a_t关于t单调递增，而t=-（n+1）关于n单调递减，
由复合函数的单调性知，{b_n}．
∴（1+

1

n

）ⁿ＜e＜（1+

1

n

）ⁿ⁺¹（其中n∈N ^*，e为自然对数的底数）．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造成法、导数和极限性质的合理运用．