Question

【题目】已知函数，（ ， ）.

（1）若， ，求函数的单调增区间；

（2）若时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）当， 时，记函数的导函数的两个零点是和（），求证： .

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）；（3）详见解析.

【解析】试题分析：

(1)利用导函数大于零可得函数的单调增区间为， .

(2)不等式恒成立转化为在区间上恒成立，构造新函数，结合题意讨论其性质可得；

(3)由题意可得（），由根与系数的关系： .由题意有

， ，构造新函数.利用函数的性质可得.

试题解析：（1）由题意： ， ， 时，

所以

令，得，因为，所以或

所以的单调增区间为，

（2）时， ，

不等式在上恒成立即为： 在区间上恒成立

令，则，令得： ，

因为时， ， 时， ，

所以在上单调递减，在上单调递增

所以，所以

（3）方法一：因为，所以，从而（）

由题意知， ， 是方程的两个根，故.

记，则，因为，所以

，所以， ，且（， ）.

因为，所以， .

令， .

因为，所以在单调递增，

所以，即.

方法二：因为，所以，从而（）.

由题意知， ， 是方程的两个根.记，则，

因为，所以， ，

所以， ，且在上为减函数.

所以.

因为，故.