Question

设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=9x+

a2

x

+7，若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的奇偶性，求出函数的解析式，根据不等式恒成立即可得到结论．

解答： 解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）≥a+1对一切x≥0成立，
∴f（0）=0≥a+1，即a≤-1，
当x＞0，则-x＜0，
∵当x＜0时，f（x）=9x+

a2

x

+7，
∴当-x＜0时，f（-x）=-9x-

a2

x

+7=-f（x），
则f（x）=9x+

a2

x

-7，
∵f（x）=9x+

a2

x

-7≥2

9x• a2 x

-7=6|a|-7，
∴由6|a|-7≥a+1，即6|a|-a≥8
当a≥0，则不等式等价为5a≥8，即a≥

8

5

，成立．
当a＜0，则不等式等价为-7a≥8，即a≤-

8

7

，
综上：a≥

8

5

或a≤-

8

7

．
∵a≤-1，
∴a≤-

8

7

．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数奇偶性求出函数的解析式是解决本题的关键．在求不等式恒成立时，使用了基本不等式．