Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosωx，1），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$sinωx-cosωx，1）（ω＞0），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$，若函数f（x）的图象与x轴的两个相邻交点的距离为$\frac{π}{2}$
（1）求函数f（x）的单调增区间
（2）若x∈（$\frac{7π}{12}$，$\frac{5π}{6}$）时，f（x）=-$\frac{6}{5}$，求cos2x的值
（3）若cosx$≥\frac{1}{2}$，x∈（0，π），且f（2x）=m有且仅有一个实根，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）由已知数量积得到三角函数解析式并化简，利用三角函数公式化简得到f（x）的解析式，借助于正弦函数的性质求单调区间；
（2）利用（1）的结论，得到sin（2x-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{3}{5}$，cos（2x-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{4}{5}$，展开解方程组得到cos2x；
（3）由cosx≥$\frac{1}{2}$，x∈（0，π），解出x的取值范围，作出符合条件的f（2x）的图象，变f（2x）=m有且仅有一个实根的问题为两个函数的图象有一个交点的问题，由图即可得到参数的取值范围

解答 解：（1）函数f（x））=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=2$\sqrt{3}$cosωxsinωx-2cos²ωx+1
=$\sqrt{3}$sin2ωx-cos2ωx=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），
∵函数f（x）图象与x轴的两个相邻交点的距离为$\frac{π}{2}$，
∴T=π，
∴2ω=$\frac{2π}{π}$=2，解得ω=1，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴令2k$π-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得k$π-\frac{π}{6}$≤x≤k$π+\frac{π}{3}$，
所以函数f（x）的单调增区间[k$π-\frac{π}{6}$，k$π+\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（2）由（1）得到x∈（$\frac{7π}{12}$，$\frac{5π}{6}$）时，2x-$\frac{π}{6}$∈（π，$\frac{3}{2}π$），f（x）=-$\frac{6}{5}$，
得到sin（2x-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{3}{5}$，cos（2x-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{4}{5}$，
所以$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=-$\frac{3}{5}$①
$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x=-$\frac{4}{5}$②
由①②组成方程组解得：cos2x=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$；
（3）∵cosx≥$\frac{1}{2}$，又因为余弦函数在（0，π）上是减函数，∴x∈（0，$\frac{π}{3}$]
又f（2x）=2sin（4x-$\frac{π}{6}$），设g（x）=m，在同一直角坐标系中
作出两个函数的图象，可知：m=1或m=-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求解的重点是从图象观察出函数的周期、最值、及点的坐标等几何特征来，然后根据相关的公式求出解析式中的参数，本题中考查了转化思想的运算，如第三小问中将方程有一个根的问题转化为两个函数的图象有一个交点的问题，从而可以用图象法解决问题，恰当的转化可以迅速达成问题的求解．