Question

9．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且csinA=$\sqrt{3}$acosC．
（1）求C；
（2）若b=1，c=$\sqrt{7}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理得sinCsinA=$\sqrt{3}sinAcosC$，从而tanC=$\sqrt{3}$，由此能求出C．
（2）由余弦定理，得a=3，由此能求出△ABC的面积．

解答 解：（1）∵△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且csinA=$\sqrt{3}$acosC，
∴由正弦定理得sinCsinA=$\sqrt{3}sinAcosC$，
∵sinA≠0，∴sinC=$\sqrt{3}cosC$，
∵cosC≠0，∴tanC=$\sqrt{3}$，
∵0＜C＜π，∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵b=1，c=$\sqrt{7}$，
∴由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcosC，
即7=${a}^{2}+1-2a×\frac{1}{2}$，即a²-a-6=0，
解得a=3（舍去a=-2），
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×1×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查角的大小、三角形的面积的求法，考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．